5  Могут решаться, как явные (y’=f (t, у)), так и неявные (Ау’ =/(t, у)) системы. Если система явная, то задается рагат( 19) = 0 и матрица А не адресуется. В случае неявной системы рагат(\Л) определяет вид матрицы А. Если рагат( 19) = 1, то А – матрица с постоянными элементами. Значение А используется при первом вызове с ido — 1, а затем сохраняется до тех пор, пока не выполнен вызов IVPAG с ido = 3.

6  Знак присваивания, например a := b, используемый здесь и далее, означает, что оценивается выражение Ъ ц результат присваивается а.

Осевое направление z рассматривается как временная координата, радиус г – как пространственная переменная.

Обсуждение:

Решается нелинейная задача, данная в цилиндрических координатах. Для работы с такими координатами задается опция m = 1. При вычислениях используется дифференцирование назад.

345

1 -1-1-1

0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 г

2  В-сплайн можно оценить функцией BSVAL, а его производные – BSDER. Описание:

Подпрограмма BSLSQ вычисляет взвешенную дискретную Ь2 аппроксимацию по данному набору данных і = 1, …, п (и = ndata). Иными словами, коэффициенты В-сплайна b – bscoef таковы, что минимальна сумма

2

3  Кубический сплайн можно оценить функцией CSVAL, а его производные – функцией CSDER.

Описание

иписание:

Подпрограмма CSSMH возвращает С2-непрерывный естественный сглаживающий кубический сплайн, обеспечивающий минимум интеграла

4  param( 16) = пис – число верхних кодиагоналей; употребляется, когда MTYPE = 3. Значение по умолчанию – 0;

• рагат(П) – не используется;

• param( 18) = epsj – относительный допуск, применяемый при вычислении якобиана разделенных разностей. Значение по умолчанию – SQRT(AMACH(4));

mid = half *(u(2,2:n) +u(2,l :n-1))

v_2 = half* sum(mid * exp(-mid) * (u(l, l:n – 1) + u(l, 2:n)) * (u(2, 2:n)-u(2,l:n -1))) d_pde_ld_mg_beta = zero

d_pde_ 1 d_mg_gamma = g(one, d_pde_ 1 d_mg_t) * &

v_l * v_2 / (v_l + one)**2 – d_pde_ 1 d_mg_u

else

d_pde_ld_mg_beta = zero d_pde_ 1 d_mg_gamma = d_pde_ld_mg_dudx(l) end if end select

! Употребляем дифференцирование назад call pde_l d_mg(tO, tout, ido, u, iopt = iopt) end do

contains

function g(z, t) implicit none real(kind(ldO)) z, t, g

g = four * z * (two – two * exp(-a) + exp(-t))**2

g = g / ((one-exp(-a)) * (one – (one + two * a) * exp(-two * a)) * (1 – exp(-a) + exp(-t))) end function g

end program pde_ld_mg_ex03

У

5Я0

1.10

1.1

0.55

0Й0

OB

Oi

3.10

□55

а б

Рис. 5.3. Графики функций: а – и(х = 0, t); б – и(х, t = tend)

5.2.4. ПРИМЕР 4. ДИФФУЗИЯ В РЕАКТОРЕ. МОДЕЛЬ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Задача взята из [14]. Диффузия моделируется уравнением

„ _,Э фгТ) Ґ Г )

Т = г —!-+уехр – ;

д г v i^l + erj

Гг(0, z) = 0, Д1, z) = 0, z > 0;

Т(г, 0) = 0, 0 < г < 1;

р = 10"4,* У= 1, є = 0.1.

kt = kt + 1 uv(l, kt) = t0 uv(2, kt) = u(l, 1) write(7, "(fl0.5)") tout do і = 1, npde + 1 write(7, "(4el5.5)") u(i,:) end do

tout = min(tout + delta_t, tend) if(t0 = tend) ido = 3 end if

case(3) ! Интегрирование завершено

close(unit = 7)

! Графический вывод! Прежде строим график и(х – 0, t) ! Текст подпрограммы vGraph приведен в примере 1, ! сопровождающем описание подпрограммы DASPG (разд. 4.3)

call vGraph(uv, kt) deallocate(uv) allocate(uv(2, n)) uv(l, = u(npde+ 1,:) uv(2,:) = u(l,:) call vGraph(uv, n) deallocate(uv) allocate(uv(2, n)) exit case(5)

! Результат см. на рис. 5.3, а

! Выводим график и(х, t = tend)

! Результат см. на рнс. 5.3, б

! Задаем начальные данные

u( 1,:) = ехр(-и(2,:)) / (two – ехр(-а)) write(7, "(П0.5)") tO do і = 1, npde + 1 write(7, "(4el5.5)") u(i,:) end do

case(6) ! Задаем дифференциальные уравнения

d_pde_ld_mg_c(l, l) = one d_pde_ 1 d_mg_r( 1) = – d_pde_ 1 d_mg_u( 1) ! Оценка аппроксимации интеграла для момента времени t v_l = half* sum((u(l, l:n -1) + u(l,2:n)) * (u(2, 2:n) – u(2,l:n – 1))) d_pde_ld_mg_q(l) = .v_l * d_pde_ld_mg_u(l) case(7) ! Задаем граничные условия

if(pde_ld_mg_left) then! Оценка аппроксимации интеграла для момента времени t; ! второй интеграл необходим на границе

v_1 = half * sum((u(l, l:n -1) + u(l,2:n)) * (u(2, 2:n) – u(2,l:n -1)))

integer, parameter :: npde = 1, n = 101

integer ido, i, nframes, kt \kt – число шагов по переменной t

real(kind(ld0)) u(npde + 1, n), mid(n – 1), tO, tout, v_l, v_2

real(kind(ld0)):: zero = OdO, half = 5d-l, one = IdO, &

two = 2d0, four = 4d0, delta_t = ld-1, tend = 5d0, a = 5d0 type(d_options) iopt(3)

! Массив, введенный для графического отображения! результата – зависимости и(х) при t – tend real(4), allocatable :: uv(:,:) !dec$attributes array_visualizer:: uv allocate(uv(2, int(tend / delta_t) + 1))

kt = 0; ido = 1 ! Начало интегрирования

do

select case(ido)

case(l) ! Начальные данные; задание опций

tO = zero; tout = delta_t

u(npde +1, 1) = zero

u(npde + 1, n) = a

open(file = ‘pde_ex03.out’, unit = 7)

nframes = nint((tend + delta_t) / delta_t)

write(7, «(ЗІ5,4dl4.5)») npde, n, nframes, u(npde + 1,1), u(npde + 1, n), tO, tend iopt(l) = d_options(pde_ld_mg_relative_tolerance, zero) iopt(2) = d_options(pde_ld_mg_absolute_tolerance, ld-2) iopt(3) = d_options(pde_ld_mg_time_smoothing, IdO)

case(2) ! Переход к следующей выходной точке,

tO = tout ! вывод решения, проверка на достижение

if(t0 <= tend) then ! последней точки

53 Перечислим в порядке увеличения времени выполнения программы опре

54 Фортран-программа.

55  Вычислите хп = у2 + у/2 + … + у/2 (п корней).

56  См. Йенсен К., Вирт Н. Паскаль. Руководство для пользователя и описание языка. — М.: Компьютер, 1993. — 256 с.

57  Последний способ вычисления числа 7г [19].

58  См. также Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. — Томск: МП Раско, 1992. — 272 е.; Агеев М. И., Алик В. П., Галис Р. М., Марков Ю. И. Библиотека алгоритмов 1 — 250. — М.: Советское радио, 1975. — 834 е.; Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976. — 392 е.; Сборник научных программ на Фортране: Пер. с англ. — М.: Статистика, 1974. — 540 с.

48  Здесь мы приводим примеры функций библиотеки Си (а ниже дадим Си-программу). Подобные средства имеют и Паскаль, и Фортран.

49  Или трубка с запаянным концом (ствол), в которую закатывают шарики; извлечь их можно только в обратном порядке: тот шарик, который закатился последним, будет извлечен первым.

А также: Данные в языках программирования. — М.: Мир, 1982. — 328с.; Замулин А. В. Типы данных в языках программирования и базах данных. — Новосибирск: Наука, 1987. — 150с.

50  Нельзя ракетами стрелять по воробьям; никому не придет в голову отправиться в деловую поездку из С.-Петербурга в Москву на велосипеде, но и в Трубников Бор Ил-96 не летает.

Поразительно легко написать условие, противоположное тому, которое требуется в узле проверки, или поменять, скажем, знак < на знак <= и наоборот. Накапливая опыт в решении задач, вы не раз будете удивляться своим (нередко "глупым") ошибкам.

51  Они не обязательны для исполнения ("Коряво жить не запретишь"), но их применяют опытные программисты.

52  Если объявить unsigned М= 1, N = 2, К = М — N;, получим 65535. Такой же результат ждет нас в Паскаль-программе. Вот правильное объявление: int К = М — 7V; или var К: integer;.

(1-ехр(-а))(1-(1+ 2а)ехр(-2а))(1- ехр(-а)+ exp(-f))

Эта задача содержит определенную во всей области неизвестную функцию м0с,0=—-f

1 – ехр(-а) + ехр(~0

что делает проблему весьма примечательной. Решение задачи посредством подпрограммы PDE1D MG становится возможным после введения двух уравнений

а

v1(t) = ju(x, t)dx-,

о

а

v2 (t) = jxexp(-x)u(x, t)dx, о

что позволяет получить модифицированную систему и, = – их – v, m, 0<x<a, t > 0;

_g(l, t) v, v.

2

"(0, 0 =

\2

(у, +1)’

Таким образом, при решении дифференциального уравнения необходимо оценивать интегралы. Их оценка выполняется на той же сетке, что используется и для решения уравнения. Интегралы вычисляются по формуле трапеций, точность которой соизмерима с точностью, обеспечиваемой решателем PDE1DMG.

Обсуждение:

Настоящая задача является нелинейной интегрально-дифференциальной, содержащей нелокальные условия для дифференциального уравнения, а также граничные условия. Оценка этих условий может быть выполнена только при помощи дифференцирования назад. В качестве дополнительных необязательных настроек введены допуск на абсолютную ошибку и временной сглаживающий параметр т = 1. Это значение т позволяет предотвратить пересечение линий сетки.

хуехр(-х)

ІУ + О2

program pde_ld_mg_ex03 ! Модель роста численности населения

use pde_ld_mg_int use error_option_packet implicit none

40  По-другому файловый указатель называют маркер файла, стрелка файла и даже окно.

В двоичном файле преобразование символов CR — LF подавляется.

#define EOF (—1) используется для проверки конца файла, как правило, при посимвольном чтении из файла; при построчном вводе для определения конца файла обычно применяют значение NULL, так как при достижении конца файла будет получен нулевой указатель.

41  Если программа обрабатывает произвольный текстовый файл, то рекомендуется значение /, равное 81.

42  Напомним, что в Паскале это файловая переменная.

43  Так же надо поступать в других операторах передачи данных.

44  МС РФ — мастер спорта Российской Федерации.

45  См. Ильин Ю. П., ПеченкинА. П. Основы программирования на Турбо Паскале в системе MS DOS. — СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1-993. —68 с.

46  Pixel (от англ. picture element) — элемент или точка растра. В растровой графике — минимальная единица изображения, цвет и яркость которой можно задать независимо от остального изображения.

47  Графические драйверы разработаны фирмой Borland International Inc. (bgi — аббревиатура от Borland graphics interface).

d_pde_l d_mg_beta = zero if(pde_ld_mg_left) then diff= exp(-20d0 * d_pde_ld_mg_t) ! Обеспечиваем непрерывность граничных условий d_pde_ld_mg_gamma = (/d_pde_ld_mg_u(l) – diff, d_pde_ld_mg_u(2) f) else

d_pde_ 1 d_mg_gamma = (/ d_pde_ld_mg_u(l) – one, d_pde_ld_mg_dudx(2) Г) end if end select

! Применяем дифференцирование назад call pde_ld_mg(tO, tout, ido, u, iopt = iopt) end do

end program pde_ld_mg_ex02

1JOO

У’ Oje+OOO

12.

25.

216-001

r

^5.

12.

1.

« б Рис. 5.2. Графики функций: а – и(х, t = tend); б – v(x, t = tend)

5.2.3. ПРИМЕР 3. ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННОСТИ

НАСЕЛЕНИЯ

Динамика изменения численности населения моделируется системой [42]: и, =-их-I(t)u, xL =0<x<a = xR, t>. 0;

a

/(0 = Ji<(x, f>k;

0

exp(-x)

u(0,t) = g

2 – exp(-a)

a

\b(x, I(t)) u(x, t)dx, t

V-o

где

b(x, y)= 2

- 4z(2-2exp(-a) + exp(-Q)2 g(z, О = —-